Question

20．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．

（1）如图1，若A、B两点的坐标分别是A（0，4），B（-2，0），求C点的坐标；
（2）如图2，作∠ABC的角平分线BD，交AC于点D，过C点作CE⊥BD于点E，求证：CE=$\frac{1}{2}$BD；
（3）如图3，点P是射线BA上A点右边一动点，以CP为斜边作等腰直角△CPF，其中∠F=90°，点Q为∠FPC与∠PFC的角平分线的交点，当点P运动时，点Q是否恒在射线BD上？若在，请证明；若不在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）要求点C坐标，作CM⊥AO，只要利用全等三角形的性质求出OM、CM即可；
（2）延长CE、BA相交于点F．可以证明Rt△ABD≌Rt△ACF，再证明△BCE≌△BFE得到CE=EF，就可以得出结论；
（3）点Q是否恒在射线BD上，只要证明QM=QN，只要证明△M，HQ≌△NGQ即可．

解答 解：（1）如图1中，作CM⊥OA垂足为M，
∵∠AOB=∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAM=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAM，
在△ABO和△CAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABO=∠CAM}\\{∠AOB=∠AMC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△CAM，
∴MC=AO=4，AM=BO=2，MO=AO-AM=2，
∴点C坐标（4，2）；

（2）如图2，延长CE、BA相交于点F，
∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，
∴∠EBF=∠ACF，
在△ABD和△ACF中$\left\{\begin{array}{l}{∠EBF=∠ACF}\\{AB=AC}\\{∠BAC=∠CAF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD=CF，
在△BCE和△BFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EBF=∠CBE}\\{BE=BE}\\{∠CEB=∠FEB}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE=EF，
∴CE=$\frac{1}{2}$BD；

（3）结论：点Q恒在射线BD上，
理由如下：
如图3中作QE⊥PF，QG⊥FC，QH⊥PC，QM⊥BP，QN⊥BC，垂足分别为E、G、H、M、N．
在四边形QMBN中，∵∠QMB=∠QNB=90°，
∴∠MQN=180°-∠ABC=135°，
同理可证：∠HQG=135°，
∴∠MQN=∠HQG，
∴∠MQH=∠GQN，
∵PQ平分∠FPC，QF平分∠PFC，QE⊥PF，QH⊥PC，QG⊥FC，
∴QE=QH=QG，∠QPH=$\frac{1}{2}$∠CPF=22.5°，
∵∠PMQ=∠PHQ=90°，
∴M、H、Q、P四点共圆，
∴∠HMP=∠HPQ=22.5°，同理∠QNG=22.5°，
∴∠FMQ=∠QNG，
在△MHQ和△NGQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HMQ=∠QNG}\\{∠MQH=∠NQG}\\{QF=QG}\end{array}\right.$，
∴△MHQ≌△NGQ，
∴QM=QN，
∵QM⊥BP，QN⊥BC，
∴BQ平分∠ABC，
∴点Q恒在射线BD上．

点评 本题考查了全等三角形的判定或性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形的性质、四点共圆等知识，关键是构造全等三角形，过点Q向两边作垂线是证明角平分线的常用手段．