Question

设抛物线y=x²+2ax+b与x轴有两个不同的交点
（1）将抛物线沿y轴平移，使所得抛物线在x轴上截得的线段的长是原来的2倍，求平移所得抛物线的解析式；
（2）通过（1）中所得抛物线与x轴的两个交点及原抛物线的顶点作一条新的抛物线，求新抛物线的表达式．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数图象与几何变换

专题：计算题

分析：（1）设平移所得抛物线的解析式为y=x²+2ax+b+m，根据抛物线与x轴的交点的距离公式得到

4a2-4(b+m)

=2

4a2-4b

，解得m=3b-3a²，则平移所得抛物线的解析式为y=x²+2ax+4b-3a²；
（2）先确定y=x²+2ax+b的顶点坐标为（-a，b-a²），由于通过（1）中所得抛物线与x轴的两个交点，则可设新抛物线解析式为y=t（x²+2ax+4b-3a²），
然后把（-a，b-a²）代入可求出t=

1

4

．

解答：解：（1）设平移所得抛物线的解析式为y=x²+2ax+b+m，
根据题意得

4a2-4(b+m)

=2

4a2-4b

，
解得m=3b-3a²，
所以平移所得抛物线的解析式为y=x²+2ax+b+3b-3a²=x²+2ax+4b-3a²；

（2）y=x²+2ax+b=（x+a）²+b-a²，其顶点坐标为（-a，b-a²），
∵新抛物线的表达式过抛物线y=x²+2ax+4b-3a²与x轴两交点，
∴可设新抛物线解析式为y=t（x²+2ax+4b-3a²），
把（-a，b-a²）代入得b-a²=t（a²-2a²+4b-3a²），解得t=

1

4

，
所以新抛物线的表达式过抛物线y=

1

4

x²+

1

2

ax+b-

3

4

a²．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系：△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数；△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．