Question

10．如图是二次函数y=ax²+bx+c的图象，下列结论：
①二次三项式ax²+bx+c的最大值为4；
②4a+2b+c＜0；
③一元二次方程ax²+bx+c=1的两根之和为-2；
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．
其中正确的个数有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①求出二次函数的解析式，根据抛物线的顶点坐标确定二次三项式ax²+bx+c的最大值；
②根据x=2时，y＜0确定4a+2b+c的符号；
③根据抛物线的对称性确定一元二次方程ax²+bx+c=1的两根之和；
④根据函数图象确定使y≤3成立的x的取值范围．

解答 解：①根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}&{\;}\\{a+b+c=0}&{\;}\\{c=3}&{\;}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，b=-2，c=3，
∴y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
，∴二次函数图象的顶点坐标为（-1，4），
∴二次三项式ax²+bx+c的最大值为4，故①正确；
②∵当x=2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，故②正确；
③∵抛物线与x轴的交点分别是（-3，0），（1，0），
∴一元二次方程ax²+bx+c=0的两根之和=-3+1=-2，故③正确；
④由函数图象可知，当y≤3时，x≥0或x≤-2，故④错误．
故选C．

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象与系数的关系；由待定系数法求出二次函数的解析式是解答此题的关键．