Question

9．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．
（1）求证：∠CBF=$\frac{1}{2}$∠CAB；
（2）连接BD，AE交于点H，若AB=5，tan∠CBF=$\frac{1}{2}$，求BH的值．

Answer 1

分析 （1）连接AE，利用等腰三角形的性质易证∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB，由弦切角定理可得∠CBD=∠BAE，所以∠CBF=$\frac{1}{2}$∠CAB．
（2）由tan∠CBF=tan∠EAB=$\frac{1}{2}$，得出$\frac{BE}{AE}$=$\frac{1}{2}$，根据勾股定理求得BE，根据圆周角定理得出∠BAE=∠CAE，即可得出∠EBD=∠EAB，由∠EBD=∠EAB，得出tan∠EBD=$\frac{EH}{EB}$=$\frac{1}{2}$，即可求得EH，然后根据勾股定理求得BH即可．

解答 （1）证明：连接AE，
∵AB是圆的直径，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB，
∵BF是⊙O的切线，
∴∠CBF=∠BAE，
∴∠CBF=$\frac{1}{2}$∠CAB．
（2）解：∵tan∠CBF=tan∠EAB=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BE}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∵AB=5，AB²=BE²+AE²，
∴25=BE²+4BE²，
∴BE=$\sqrt{5}$，
∵∠BAE=∠CAE，∠EBD=∠CAE，
∴∠EBD=∠EAB，
∴tan∠EBD=$\frac{EH}{EB}$=$\frac{1}{2}$，
∴EH=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴BH=$\sqrt{B{E}^{2}+E{H}^{2}}$=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了弦切角定理的运用、圆周角定理，勾股定理，直角三角函数以及等腰三角形的性质，解题的关键是正确的添加辅助线，利用等腰三角形的性质解题．