Question

19．我们知道，一元二次方程x²=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1．若我们规定一个新数：“i“，使其满足i²=-1（即方程x²=-1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=（-1）•i=-i，i⁴=（i²）²=（-1）²=1．从而对任意正整数n，我们可得到i⁴ⁿ⁺¹=i⁴ⁿ•i=（i⁴）ⁿ•i=i，同理可得i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=-i，i⁴ⁿ=1，那么，i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰¹²+i²⁰¹³的值为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． -1
• D． i

Answer 1

分析 i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=（-1）•i=-i，i⁴=（i²）²=（-1）²=1，i⁵=i⁴•i=i，i⁶=i⁵•i=-1，从而可得4次一循环，一个循环内的和为0，计算即可．

解答 解：由题意得，i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=（-1）•i=-i，i⁴=（i²）²=（-1）²=1，i⁵=i⁴•i=i，i⁶=i⁵•i=-1，
故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，
∵$\frac{2013}{4}$=503…1，
∴i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰¹²+i²⁰¹³=i．
故选：D．

点评 本题考查了一元二次方程的解的定义，实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出一个循环内的和再计算，有一定难度．