Question

4．如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则tan∠EAB的值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 设切点为P，则AP=AD，EP=CE，根据已知利用勾股定理即可求得CE的长，从而即可得出∠EAB的正切值．

解答 解：∵两圆弧外切，
∴AE的长即为两圆的半径之和；
设切点为P，正方形ABCD的边长是4k，则AP=AD，EP=CE，
在Rt△ABE中，由勾股定理列出方程AB²+（BC-CE）²=（AP+EP）²，
即（4k）²+（4k-CE）²=（4k+CE）²，
解得CE=k．
故BE=3k，
所以tan∠EAB的值是$\frac{3}{4}$．
故选C．

点评 此题考查两相切圆的性质以及正方形的性质，关键是先构建一个直角三角形，然后解直角三角函数即可．