Question

5．已知，如图1，直线l与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）位于第一象限的图象相交于A、B两点，并与y轴、x轴分别交于E、F．

（1）试判断AE与BF的数量关系并说明理由．
（2）如图2，若将直线l绕点A顺时针旋转，使其与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的另一支图象相交，设交点为B．试判断AE与BF的数量关系是否依然成立？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N，连接MN、OA、OB、BM、AN，由AM∥x轴，得到S_△AMN=S_△AMO=$\frac{k}{2}$，同理，S_△BMN=S_△BNO=$\frac{k}{2}$，于是得到S_△AMN=S_△BMN，推出A、B两点到MN的距离相等，且A、B位于MN同侧，故AB∥MN，得到四边形AMNF与BNME均为平行四边形，根据平行四边形的性质得到AM=FN，EM=BN．根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）作AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N，连接MN、OA、OB、BM、AN，由AM∥x轴，得到S_△AMN=S_△AMO=$\frac{k}{2}$，同理，S_△BMN=S_△BNO=$\frac{k}{2}$，于是得到S_△AMN=S_△BMN，推出A、B两点到MN的距离相等，且A、B位于MN同侧，故AB∥MN，得到四边形AMNF与BNME均为平行四边形，根据平行四边形的性质得到AM=FN，EM=BN．根据全等三角形的性质即可得到结论；

解答 解：（1）AE=BF，
理由如下：作AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N，连接MN、OA、OB、BM、AN，
∵AM∥x轴，
∴S_△AMN=S_△AMO=$\frac{k}{2}$，
同理，S_△BMN=S_△BNO=$\frac{k}{2}$，
∴S_△AMN=S_△BMN，
即A、B两点到MN的距离相等，且A、B位于MN同侧，故AB∥MN，
∴四边形AMNF与BNME均为平行四边形，
∴AM=FN，EM=BN．
又∵∠AME=∠BNF=90°，
在△EMA与△BNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=FN}\\{∠AME=∠BNF}\\{EM=BN}\end{array}\right.$，
∴△EMA≌△BNF，
∴AE=BF；

（2）结论依然成立，AE=BF，
理由：作AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N，连接MN、OA、OB、BM、AN，
∵AM∥x轴，
∴S_△AMN=S_△AMO=$\frac{k}{2}$，
同理，S_△BMN=S_△BNO=$\frac{k}{2}$，
∴S_△AMN=S_△BMN，
即A、B两点到MN的距离相等，且A、B位于MN同侧，故AB∥MN，
∴四边形AMNF与BNME均为平行四边形，
∴AM=FN，EM=BN．
又∵∠AME=∠BNF=90°，
在△EMA与△BNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=FN}\\{∠AME=∠BNF}\\{EM=BN}\end{array}\right.$，
∴△EMA≌△BNF，
∴AE=BF．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，全等三角形的判定和性质，三角形面积的计算，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．