Question

14．如图，等边△ABC内接于⊙O，BC=4，PC切⊙O于C，AP⊥CP，则BP的长为（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 2$\sqrt{7}$
• D． 2$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 首先证明△APB是直角三角形，在RT△APC中求出AP即可解决问题．

解答 解：如图，连接OC．
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∴OC⊥AB，
∴∠ACO=∠BCO=30°，
∵PC是切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
∴∠ACP=60°，
∵AP⊥PC，
∴∠APC=90°，∠CAP=30°，
∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=90°，
∵PC=$\frac{1}{2}$AC=2，AP²=AC²-PC²=12，
∴PB=$\sqrt{A{B}^{2}+A{P}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+12}$=2$\sqrt{7}$．
故选C．

点评 本题考查切线的性质、三角形外接圆的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是发现△APB是直角三角形，属于中考常考题型．