Question

13．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在△ABC的外部作∠ACM，使得∠ACM=$\frac{1}{2}$∠ABC，点D是直线BC上的动点，过点D作直线CM的垂线，垂足为E，交直线AC于F．

（1）如图1所示，当点D与点B重合时，延长BA，CM交点N，证明：DF=2EC；
（2）当点D在直线BC上运动时，DF和EC是否始终保持上述数量关系呢？请你在图2中画出点D运动到CB延长线上某一点时的图形，并证明此时DF与EC的数量关系．

Answer 1

分析 （1）延长BA，CM交点N，先证明BC=BN，得出CN=2CE，再证明△BAF≌△CAN，得出对应边相等BF=CN，即可得出结论；
（2）作∠PDE=22.5，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，先证明PD=CD，得出PC=2CE，再证明△DNF≌△PNC，得出对应边相等DF=PC，即可得出结论．

解答 解：（1）如图（1），延长BA，CM交点N，

∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠ACM=$\frac{1}{2}$∠ABC=22.5°，
∴∠BCM=67.5°，
∴∠BNC=67.5°=∠BCM，
∴BC=BN，
∵BE⊥CE，
∴∠ABE=22.5°，CN=2CE，
∴∠ABE=∠ACM=22.5°，
在△BAF和△CAN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠NAC=90°}\\{AB=AC}\\{∠ABF=∠ACM}\end{array}\right.$，
∴△BAF≌△CAN（ASA），
∴BF=CN，
∴BF=2CE；
（2）保持上述关系；DF=2CE；
证明如下：
作∠PDE=22.5，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，
如图（2）所示：
∵DE⊥PC，∠ECD=67.5，
∴∠EDC=22.5°，
∴∠PDE=∠EDC，∠NDC=45°，
∴∠DPC=67.5°，
∴PD=CD，
∴PE=EC，
∴PC=2CE，
∵∠NDC=45°，∠NCD=45°，
∴∠NCD=∠NDC，∠DNC=90°，
∴ND=NC且∠DNC=∠PNC，
在△DNF和△PNC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DNC=∠PNC}\\{ND=NC}\\{∠PDE=∠PCN}\end{array}\right.$，
∴△DNF≌△PNC（ASA），
∴DF=PC，
∴DF=2CE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质；通过作辅助线证明等腰三角形和全等三角形是解决问题的关键．