Question

9．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（3，0），且∠OAB=30°，点C为线段AB上一动点，过点C作CD⊥x轴，垂足为点D．
（1）求直线l的解析式；
（2）若S_梯形OBCD=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，求经过点C的反比例函数解析式；
（3）在第一象限内是否存在点P，使P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先确定出OB，即可得到点B坐标，从而确定出直线l的解析式；
（2）设出点C的坐标，利用梯形的面积公式确定出点C的坐标即可确定出函数关系式；
（3）因为∠AOB=90°，所以以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似需分三种情况进行讨论：
①当∠OBP=90°时，又分△BPO∽△OAB；△BOP∽△OAB；
②当∠OPB=90°时，过点O作OP⊥BC于点P，过点P作PM⊥OA于点M．又分△PBO∽△OBA；△POB∽△OBA；
③当∠POB=90°时，点P在x轴上，不符合要求．

解答 解：（1）∵点A的坐标为（3，0），
∴OA=3，
在Rt△OAB中，∠OAB=30°，OA=3，
∴OB=$\sqrt{3}$，
∴B（0，$\sqrt{3}$），
设直线l解析式为y=kx+$\sqrt{3}$，
∴3k+$\sqrt{3}$=0，
∴k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线l解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；
（2）由（1）知，直线l解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；
∵点C为线段AB上一动点，
∴设C（m，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\sqrt{3}$），（0＜m＜3），
∵S_梯形OBCD=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
∴S_梯形OBCD=$\frac{1}{2}$（OB+CD）×OD=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\sqrt{3}$）m=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
∴m=4（舍）或m=2，
∴C（2，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴经过点C的反比例函数解析式为y=$\frac{2\sqrt{3}}{3x}$；

（3）以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似时，分三种情况：
①当∠OBP=90°时，如图1，
．
若△BPO∽△OAB，则∠BPO=∠OAB=30°，BP=$\sqrt{3}$OB=3，
∴P₁（3，$\sqrt{3}$）；
若△BOP∽△OAB，则∠BOP=∠OAB=30°，BP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OB=1，
∴P₂（1，$\sqrt{3}$）；
②当∠OPB=90°时，如图2．

过点O作OP⊥BA于点P，过点P作PM⊥OA于点M．
若△PBO∽△OBA，则∠BOP=∠BAO=30°，
在Rt△PBO中，BP=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OP=$\sqrt{3}$BP=$\frac{3}{2}$．
∵在Rt△PMO中，∠OPM=30°，
∴OM=$\frac{1}{2}$OP=$\frac{3}{4}$，PM=$\sqrt{3}$OM=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴P₃（$\frac{3}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$）；
若△POB∽△OBA，则∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30°．
∴PM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴P₄（$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）；
③当∠POB=90°时，点P在x轴上，不符合要求．
综合所述，符合条件的点有四个，分别是：P₁（3，$\sqrt{3}$），P₂（1，$\sqrt{3}$），P₃（$\frac{3}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$），P₄（$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数解析式，梯形的面积，解直角三角形，相似三角形的有关知识，难度适中．运用分类讨论、数形结合、方程思想是解题的关键．