Question

17．已知，如图，⊙O的半径为6，弧$\widehat{AC}$的度数为120°，点B为弧$\widehat{AC}$的中点，点D为⊙O上异于A、B、C的三点，OE⊥AD于E，OF⊥CD于F，连接EF．
（1）求证：四边形OABC是菱形；
（2）求线段EF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OB，根据已知条件得到∠AOB=∠COB=60°，推出△AOB与△COB是等边三角形，根据等边三角形的性质得到OA=OB=BC=OC，于是得到四边形OABC是菱形；
（2）连接AC，交OB于G，由四边形OABC是菱形，得到∠OAC=30°，求得AG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AO=3$\sqrt{3}$，得到AC=2AG=6$\sqrt{3}$，根据三角形的中位线的性质即可得到结论．

解答 解：（1）连接OB，
∵$\widehat{AC}$的度数为120°，点B为弧$\widehat{AC}$的中点，
∴∠AOB=∠COB=60°，
∵AO=BO=CO，
∴△AOB与△COB是等边三角形，
∴OA=OB=BC=OC，
∴四边形OABC是菱形；

（2）连接AC，交OB于G，
∵四边形OABC是菱形，
∴∠OAC=30°，
AC⊥OB，
∴AG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AO=3$\sqrt{3}$，
∴AC=2AG=6$\sqrt{3}$，
∵OE⊥AD于E，OF⊥CD于F，
∴DE=AE．DF=CF，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆周角定理，菱形的判定和性质，三角形的中位线的性质，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．