如图1.在△ABC中.∠ACB=90°.AC=BC=2.D为AC中点.以点A为直角顶点作△DEF.使E点与A点重合.∠FED=90°.EF=BC.DF与AB交于点点G．(1)求AG:BG的值,(2)如图2.将△EFG沿射线AC方向向右平移至点E与点C重合时停止.设平移的距离为x.△ABC与△DEF重合部分的面积为y.请求出y与x的函数关系式,(3)如图3.当平移停止时.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D为AC中点，以点A为直角顶点作△DEF，使E点与A点重合，∠FED=90°，EF=BC，DF与AB交于点点G．
（1）求AG：BG的值；
（2）如图2，将△EFG沿射线AC方向向右平移至点E与点C重合时停止，设平移的距离为x，△ABC与△DEF重合部分的面积为y，请求出y与x的函数关系式；
（3）如图3，当平移停止时，将△DEF绕点E顺时针旋转一周，在旋转过程中△ACF与△BCF能否全等？若能，请直接写出旋转的角度α；若不能，请说明理由．

分析（1）由FB∥ACD得到△FBG∽△DGA，得到比例式，再由AD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$FB，即可；
（2）分两种情况①当点D在线段AC上时，即0≤x≤1，根据△FHG∽△FED，得到的比例式求出HG，②当点D在AC延长线上时，即1≤x≤2，根据△FHG∽△FED，得到比例式求出HG，即可；
（3）分两种情况计算，在旋转的过程中，要△ACF与△BCF全等，必有∠ACF=∠BCF，即CF是∠ACB的角平分线或角平分线的反向延长线，简单计算即可．

解答解：（1）如图1，

连接FB，则FB∥AC
∴△FBG∽△DGA，
∵D为AC中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$FB，
∴$\frac{AG}{BG}=\frac{AD}{FB}$=$\frac{1}{2}$
（2）①当点D在线段AC上时，即0≤x≤1，
如图2，

∵平移的距离AE为x，∠A=45°
∴△AEJ为等腰直角三角形，
∴AE=EJ=x，则FJ=2-x，
∵△FHG∽△FED，
∴$\frac{HG}{ED}=\frac{FH}{FE}$，
∴$\frac{HG}{1}=\frac{2-x-HG}{2}$，
∴HG=$\frac{2-x}{3}$，
∴△FJG的面积为：$\frac{1}{2}$FJ×HG=$\frac{（2-x）^{2}}{6}$
∴y=1-$\frac{1}{2}$FJ×HG=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$，（0≤x≤1）
②当点D在AC延长线上时，即1≤x≤2，
如图3，

∵△FHG∽△FED，
∴$\frac{HG}{ED}=\frac{FH}{FE}$，
∴$\frac{HG}{1}=\frac{2-x-HG}{2}$，
∴HG=$\frac{2-x}{3}$，
∴△FJG的面积为：$\frac{1}{2}$FJ×HG=$\frac{（2-x）^{2}}{6}$
又∵CD=x-1，△CDI∽△EDF，
∴IC=2CD=2（x-1），
∴△CDI的面积为：$\frac{1}{2}$CD×CI=（x-1）²
∴y=1-$\frac{（2-x）^{2}}{6}$-（x-1）²=-$\frac{7}{6}$x²+$\frac{8}{3}$x-$\frac{2}{3}$ （1≤x≤2）
（3）①如图1，

∵AC=BC=2，CF=CF，
∵要使△ACF与△BCF全等，
∴必有∠ACF=∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCF=∠ACF=$\frac{1}{2}$（360°-∠ACB）=$\frac{1}{2}$（360°-90°）=135°，
∴α=∠BCF=135°，
②如图2，

∵AC=BC=2，CF=CF，
∵要使△ACF与△BCF全等，
∴必有∠ACF=∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCF=∠ACF=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∴α=360°-∠BCF=360°-45°=315°，
当旋转角α为135°或315°时，△ACF与△BCF全等．

点评此题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，解本题的关键是相似三角形的性质的运用，难点是（3）画出△ACF与△BCF全等的图形．

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