Question

4．已知二次函数y=x²-2x-3，点P在该函数的图象上，点P到x轴、y轴的距离分别为d₁、d₂．设d=d₁+d₂，下列结论中：
①d没有最大值；
②d没有最小值；
③-1＜x＜3时，d随x的增大而增大；
④满足d=5的点P有四个．  
其中正确结论的个数有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 找出二次函数与x轴的交点，结合点P所在的象限分段考虑，再根据二次函数的性质找出其最值以及在各段区间内的增减性，对比4个结论即可得知正确的结论有两个．

解答 解：令二次函数y=x²-2x-3中y=0，即x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3．
（i）当x≤-1时，d₁=x²-2x-3，d₂=-x，
d=d₁+d₂=x²-3x-3=$（x-\frac{3}{2}）^{2}-\frac{21}{4}$，
d≥1；
（ii）当-1＜x≤0时，d₁=-x²+2x+3，d₂=-x，
d=-x²+x+3=-$（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{13}{4}$，
1＜d≤3；
（iii）当0＜x≤3时，d₁=-x²+2x+3，d₂=x，
d=-x²+3x+3=-$（x-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{21}{4}$，
3≤d≤$\frac{21}{4}$；
（iv）当3＜x时，d₁=x²-2x-3，d₂=x，
d=d₁+d₂=x²-x-3=$（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{13}{4}$，
3＜d．
综上可知：d有最小值，没有最大值，即①成立，②不成立；
当0＜x≤$\frac{3}{2}$时，d随x的增大而增大，$\frac{3}{2}$＜x≤3时，d随x的增大而减小，
∴-1＜x＜3时，d随x的增大而增大，结论③不成立；
令d=5，（i）中存在一个解；（ii）中无解；（iii）中有两个解；（iv）中一个解．
∴满足d=5的点P有四个，结论④成立．
∴正确的结论有2个．
故选B．

点评 本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据点P所在的区间进行分段．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质找出函数在各段区间内的增减性与最值是关键．