Question

1．直线y=x+b（b＞0）与x，y轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（-6，0），过点B的另一直线交x轴正半轴于点C，且$\frac{OC}{OB}$=$\frac{1}{3}$．
（1）求点B的坐标及直线BC的解析式；
（2）在线段OB上存在点P，使点P到点B，C的距离相等，求出点P坐标；
（3）在x轴上方存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，画出△ABD并请直接写出点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）思想利用待定系数法求出点B坐标、点C坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图1中，由题意PB=PC，设PB=PC=x．在Rt△POC中，利用勾股定理列出方程即可解决问题．
（3）设点C关于直线AB的对称点为D，则△ABD≌△ABC，求出直线CD的解析式，利用中点坐标公式即可解决问题，再根据对称性可得另一个满足条件的点D′坐标．

解答 解：（1）把A的坐标为（-6，0）代入y=x+b中，得到b=6，
∴B（0，6），
∵$\frac{OC}{OB}$=$\frac{1}{3}$，
∴OC=2，
∴C（2，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-3x+6．

（2）如图1中，由题意PB=PC，设PB=PC=x．

在Rt△POC中，∵OP=6-x，PC=x，OC=2，
∴x²=（6-x）²+2²，
∴x=$\frac{10}{3}$，
∴OP=6-$\frac{10}{3}$=$\frac{8}{3}$，
∴P（0，$\frac{8}{3}$）．

（3）如图2中，

设点C关于直线AB的对称点为D，则△ABD≌△ABC，
∵直线AB的解析式为y=x+6，
∴直线CD的解析式为y=-x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+6}\\{y=-x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴H（-2，4），
∵DH=HC，
∴D（-6，8），
根据对称性点D关于直线y=-x的对称点D′（-8，6）也满足条件．
综上所述，满足条件的点D的坐标为（-6，8）或（-8，6）．

点评 本题考查一次函数综合题、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数利用方程组确定两个函数的图象的交点坐标，属于中考压轴题．