Question

7．如图在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点（D不与B、C重合），H为AD中点，连CH并延长交AB于E
（1）当BD：DC=5：8时，求BE：EA；
（2）当AE与BE满足什么条件时，AD⊥BC，并加以证明；
（3）是否存在这样的D点，使E为AB的中点？若存在求出BD：DC，若不存在，请加以证明．

Answer 1

分析 （1）作DN∥CE交AB于N，根据平行线分线段成比例定理计算；
（2）根据等腰三角形的三线合一得到BD=DC，根据平行线分线段成比例定理计算；
（3）根据三角形中位线定理解答．

解答 解：（1）如图1，作DN∥CE交AB于N，
∴BE：EN=BD：DC=5：8，
∵DN∥CE，H为AD中点，
∴HE=EA，
∴BE：EA=5：16；

（2）当AE：BE=1：2时，AD⊥BC，
证明：作DF∥CE交AB于F，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，
∵DF∥CE，BD=DC，H为AD中点，
∴BF=FE，FE=EA，
∴AE：BE=1：2时，AD⊥BC；

（3）不存在这样的D点，使E为AB的中点．
∵E为AB的中点，H为AD中点，
∴EC∥BC．
∴不存在这样的D点，使E为AB的中点．

点评 本题考查的是等腰三角形的性质、三角形中位线定理以及平行线分线段成比例定理的应用，掌握等腰三角形的三线合一、三角形中位线定理是解题的关键．