Question

8．已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=$\sqrt{3}$，点P、Q在AB上，点M、N在AC上，且△PCM和△QMN是相似比为3：1的两个等边三角形．求：
（1）$\frac{AM}{MC}$的值；
（2）AC的长．

Answer 1

分析 （1）过P作PE⊥AC于E，过Q作QF⊥AC于F，由△PCM和△QMN是等边三角形，于是得到∠PCM=∠QMN=60°，证得PC∥QM．同理PM∥QN，推出△AQM∽△APC，求得$\frac{PC}{QM}=\frac{PM}{QN}$=$\frac{1}{3}$，于是得到结论；
（2）由（1）知，$\frac{AM}{AC}=\frac{1}{3}$，同理$\frac{AN}{AM}$=$\frac{1}{3}$，设AN=a，AM=3a，AC=9a，FN=FM=a，得到QF=$\sqrt{3}$a，通过△AFQ∽△ACB，得到$\frac{QF}{BC}=\frac{AF}{AC}$，即可得到结果．

解答 解：（1）过P作PE⊥AC于E，过Q作QF⊥AC于F，
∵△PCM和△QMN是等边三角形，
∴∠PCM=∠QMN=60°，
∴PC∥QM．同理PM∥QN，
∴△AQM∽△APC，
∵△PCM和△QMN是相似比为3：1，
∴$\frac{PC}{QM}=\frac{PM}{QN}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AM}{AC}$=$\frac{QM}{PC}$=$\frac{1}{3}$
∴$\frac{AM}{MC}$=$\frac{1}{2}$；

（2）由（1）知，$\frac{AM}{AC}=\frac{1}{3}$，同理$\frac{AN}{AM}$=$\frac{1}{3}$，
设AN=a，AM=3a，AC=9a，FN=FM=a，
∴QF=$\sqrt{3}$a，
∵∠C=90°，
∴QF∥BC，
∴△AFQ∽△ACB，
∴$\frac{QF}{BC}=\frac{AF}{AC}$，
即$\frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{3}}$=$\frac{2a}{9a}$，
∴a=$\frac{2}{9}$，
∴AC=2．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．