Question

12．观察下列等式：$1×\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$，$2×\frac{2}{3}=2-\frac{2}{3}$，$3×\frac{3}{4}=3-\frac{3}{4}$，…
（1）写出第6个等式$6×\frac{6}{7}=6-\frac{6}{7}$，写出第100个等式$100×\frac{100}{101}=100-\frac{100}{101}$；
（2）猜想并写出第n个等式$n×\frac{n}{n+1}=n-\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 （1）根据题意可知左边是整数与分数的积，右边是这两个数的差；而分数的分子等于整数，分母比整数大1．
（2）第n个等式整数即为n，则分数为$\frac{n}{n+1}$，再根据上述规律即可列出第n个等式．

解答 解：（1）由$1×\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$，$2×\frac{2}{3}=2-\frac{2}{3}$，$3×\frac{3}{4}=3-\frac{3}{4}$可知
左边是整数与分数的积，右边是这两个整数与分数的差，而分数的分子等于整数，分母比整数大1；
故第6个等式为$6×\frac{6}{7}=6-\frac{6}{7}、$第100个等式为$100×\frac{100}{101}=100-\frac{100}{101}$；
（2）根据上述规律第n个等式为：$n×\frac{n}{n+1}=n-\frac{n}{n+1}$．
故答案为：（1）$6×\frac{6}{7}=6-\frac{6}{7}、100×\frac{100}{101}=100-\frac{100}{101}$；
（2）$n×\frac{n}{n+1}=n-\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了数字的变化规律和代数式的书写，解题的关键是先从简单的例子入手寻求规律，再得出一般化结论，属基础题．