Question

11．如图，等腰梯形ABCD的周长为6cm，∠B=45°，当腰长x（cm）为多少时，梯形面积y（cm）最大？并求出这个最大面积．

Answer 1

分析 作AM⊥BC于M，则∠AMB=90°，由等腰梯形的性质和已知条件得出AD+BC=（6-2x）cm，由三角函数得出AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$xcm，由梯形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$（AD+BC）×AM，得出y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9\sqrt{2}}{8}$，由-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜0，得出y有最大值，即可得出结果．

解答 解：作AM⊥BC于M，如图所示：
则∠AMB=90°，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC=xcm，
∴AD+BC=（6-2x）cm，
∵∠B=45°，
∴AM=AB•sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$xcm，
∵梯形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$（AD+BC）×AM=$\frac{1}{2}$（6-2x）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x²+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$x=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9\sqrt{2}}{8}$（cm²），
∴y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9\sqrt{2}}{8}$，
∵-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜0，
∴y有最大值，
当x=$\frac{3}{2}$时，y最大，最大值=$\frac{9\sqrt{2}}{8}$；
即当腰长x（cm）为$\frac{3}{2}$cm时，梯形面积y（cm²）最大，这个最大面积为$\frac{9\sqrt{2}}{8}$cm²．

点评 本题考查了等腰梯形的性质、三角函数、二次函数的最值；熟练掌握等腰梯形的性质，根据梯形的面积公式得出y是x的二次函数是解决问题的关键．