Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB，DF⊥BC于F，连接AF，P为AF上一点，连接DP、CP，且DP⊥CP，CP交DF于G，CP的延长线交AB于E．
（1）若CD=3

2

，求DP的长；
（2）求证：BC=AD+AE．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）连接BP，延长DP交BC于点H，由条件可以得出四边形ABFD为正方形，由正方形的性质就可以得出△PFB≌△PFD，就有∠1=∠2，得出∠1=∠3，就有PB=PC，得出PD=PC，由勾股定理就可以求出结论；
（2）连接DE，由直角三角形的性质就可以得出∠5=∠6，得出PE=PB，就有PC=PE，得出DE=DC，证明△DAE≌△DFC就可以得出AE=CF而得出结论．

解答：解：（1）如图，连接BP，延长DP交BC于点H，
∵AD∥BC，
∴∠DAC+∠ABC=180°．
∵∠ABC=90°，
∴∠DAB=90°．
∵DF⊥BC，
∴∠DFB=∠DFC=90°
∴∠DAB=∠ABC=∠DFB=90°，
∴四边形ABFD是矩形．
∵AD=AB，
∴矩形ABFD是正方形，
∴AB=BF=DF=AD，∠
∴∠DF⊥BC，AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠DFB=∠ADF=90°，∠AFB=∠AFD=45°．
在△PFB和△PFD中

FB=FD ∠AFB=∠AFD PF=PF

，
∴△PFB≌△PFD（SAS），
∴PD=PB，∠1=∠2．
∵DP⊥PC，
∴∠CPD=∠CPH=90°
∴∠3+∠4=90°．
∵∠2+∠4=90°，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴PC=PB=PD，
∴△PCD为等腰Rt△，且CD=3

2

，由勾股定理，得
DP²+CP²=CD²=3．
2DP²=18，
DP=3．
答：DP=3；
（2）如图，连接DE，
在Rt△EBC中，∠5+∠3=90°，∠ABC=∠6+∠1=90°，且∠1=∠3，
∴∠5=∠6，
∴PE=PB=PC=PD．
∵DP⊥CE，
∴DP垂直平分EC，
∴DE=DC．
在Rt△AED和Rt△FCD中

DE=DC DA=DF

，
∴Rt△AED≌Rt△FCD（HL），
∴AE=CF．
∵BC=BF+CF，
∴BC=AD+AE．

点评：本题考查了正方形的判定与性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，直角三角形的性质的运用，中垂线的判定与性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．