题目内容
如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，分别过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D，E，求证：DE=BD+CE；
（1）将直线l绕点A逆时针旋转到直线l与BC相交，且∠BAD＜45°（如图2）时，其它条件不变，请你探索DE，BD，CE之间的数量关系，并证明之；
（2）继续旋转，使45°＜∠BAE＜90°（如图3），其它条件不变，此时（1）中的结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，DE，BD，CE之间又怎样的数量关系？（不需证明）．
（1）将直线l绕点A逆时针旋转到直线l与BC相交，且∠BAD＜45°（如图2）时，其它条件不变，请你探索DE，BD，CE之间的数量关系，并证明之；
（2）继续旋转，使45°＜∠BAE＜90°（如图3），其它条件不变，此时（1）中的结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，DE，BD，CE之间又怎样的数量关系？（不需证明）．
考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形
专题：
分析：如图1，由BD⊥l，CE⊥l就可以得出∠BDA=∠CEA=90°，由∠BAC=90°就可以得出∠ABD=∠CAE，就可以得出△ABD≌△CAE就可以得出AD=CE，BD=AE，进而得出结论；
（1）如图2，由BD⊥l，CE⊥l就可以得出∠BDA=∠CEA=90°，由∠BAC=90°就可以得出∠ABD=∠CAE，就可以得出△ABD≌△CAE就可以得出AD=CE，BD=AE，进而得出结论；
（2）如图3，由BD⊥l，CE⊥l就可以得出∠BDA=∠CEA=90°，由∠BAC=90°就可以得出∠ABD=∠CAE，就可以得出△ABD≌△CAE就可以得出AD=CE，BD=AE，进而得出结论．
（1）如图2，由BD⊥l，CE⊥l就可以得出∠BDA=∠CEA=90°，由∠BAC=90°就可以得出∠ABD=∠CAE，就可以得出△ABD≌△CAE就可以得出AD=CE，BD=AE，进而得出结论；
（2）如图3，由BD⊥l，CE⊥l就可以得出∠BDA=∠CEA=90°，由∠BAC=90°就可以得出∠ABD=∠CAE，就可以得出△ABD≌△CAE就可以得出AD=CE，BD=AE，进而得出结论．
解答：证明：如图1，∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE．
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（1）DE=CE-BD
理由：如图2，∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE
∵DE=AD-AE，
∴DE=CE-BD；
（2）DE=BD-CE．
理由：如图3，∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE
∵DE=AE-AD，
∴DE=BD-CE．
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中
|
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE．
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（1）DE=CE-BD
理由：如图2，∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中
|
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE
∵DE=AD-AE，
∴DE=CE-BD；
（2）DE=BD-CE．
理由：如图3，∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中
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∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE
∵DE=AE-AD，
∴DE=BD-CE．
点评：本题考查了直角三角形的性质的运用，垂直的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
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