Question

15．已知：如图，半径分别为r和R的⊙O₁与⊙O₂外切于点T，经过点T的直线与⊙O₁与⊙O₂分别相交于另一点A，B两点，求证：AT：TB=r：R．

Answer 1

分析 如图，连接O₁O₂，O₁A，O₂B．首先证明∠A=∠B，推出O₁A∥BO₂即可证明．

解答 解：如图，连接O₁O₂，O₁A，O₂B．

∵O₁A=O₁T，O₂T=O₂B，
∴∠A=∠O₁TA，∠O₂TB=∠B，
∵∠ATO₁=∠BTO₂，
∴∠A=∠B，
∴AO₁∥BO₂，
∴△ATO₁∽△BTO₂，
∴AT：BT=r：R．

点评 本题考查相似三角形的性质，圆的半径相等，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．