Question

9．已知关于x的方程x²-mx+4=0在-1≤x≤1范围内有根，求m的取值范围．

Answer 1

分析 根据△≥0，求出m的取值范围，再结合二次函数的图形的性质，分类讨论即可得到结论．

解答 解：∵关于x的方程x²-mx+4=0在-1≤x≤1范围内有根，
∴△=m²-16≥0，∴m≥4，过m≤-4，
①当m≥4时，函数f（x）=x²-mx+4在[-1，1]上单调递增，
若方程x²-mx+4=0在x∈[-1，1]上有解，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≤0}\\{f（1）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1+m+4≤0}\\{1-m+4≥0}\end{array}\right.$，
解得：m≤-5，
此时满足条件的m的值是m≤-5，
②当m≥4时，函数f（x）=x²-mx+4在[-1，1]上单调递减，
若方程x²-mx+4=0在x∈[-1，1]上有解，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≥0}\\{f（1）≤0}\\{\;}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1+m+4≥0}\\{1-m+4≤0}\end{array}\right.$，
解得：m≥5，此时满足条件的m的值是m≥5，
综上所述，实数m的取值范围是m≤-5或m≥5．

点评 本题考查了二次函数的性质和图形，正确应用二次函数的性质是解题的关键．