Question

20．已知△ABC，∠BAC=90°，等腰直角△BDE，∠BDE=90°，BD=DE，点D在线段AC上．
（1）如图1，当∠ACB=30°，点E在BC上时，试判断AD与CE的数量关系，并加以证明；
（2）如图2，当∠ACB=45°，点E在BC外时，连结EC、BD并延长交于点F，设ED与BC交于点N，图中是否存在与BN相等的线段？若存在．请加以证明．若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，先根据等腰直角三角形的性质得：∠DBE=∠DEB=45°，由三角形内角和求∠ABC=60°，所以可以得∠ABD的度数；再证明△ABD≌△PDE，AD=PE，根据直角三角形30°角的性质可以得结论；
（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△ABD≌△GDE和△FDE≌△NDB，可以得出结论．

解答 解：（1）CE=2AD．
理由是：∵△BDE是等腰直角三角形，
∴∠DBE=∠DEB=45°，
又∵直角△ABC中，∠ACB=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBE=60°-45°=15°．
同理∠CEP=60°，
∴∠PED=180°-∠CEP-∠DEB=180°-60°-45°=75°，
∴在直角△DPE中，∠PDE=90°-∠PED=15°，
∴∠PDE=∠ABD．
∴在△ABD和△PDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPE=∠A=90°}\\{∠PDE=∠ABD}\\{DE=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△PDE（AAS），
∴AD=PE．
又∵直角△PCE中，∠C=30°，
∴CE=2PE
∴CE=2AD；
（2）BN=EF，理由是：
如图2，过E作EG⊥AC，交AC的延长线于G，
∵∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠EDF=90°，
∠GDE+∠ADB=90°，
∵∠A=90°，
∴∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠GDE=∠ABD，
在△ABD和△GDE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠GDE=∠ABD}\\{∠G=∠A=90°}\\{DE=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△GDE（AAS），
∴AD=GE，DG=AB，
∵AB=AC，
∴AC=DG，
∴AD=CG=GE，
∴△CGE是等腰直角三角形，
∴∠GCE=45°，
∴∠DCF=∠GCE=45°，
∴∠FCB=45°+45°=90°，
∴∠F+∠FBC=90°，
∵∠FBC+∠DNB=90°，
∴∠F=∠DNB，
在△FDE和△NDB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠DNB}\\{∠FDE=∠NDB}\\{DE=BD}\end{array}\right.$，
∴△FDE≌△NDB（AAS），
∴BN=EF．

点评 本题考查了三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质、直角三角形30°角的性质，熟练掌握这些性质是关键，第二问有难度，作辅助线，构建直角△DGE是此问的突破口，找到两全等三角形并进行证明．