Question

14．如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点M、N，满足AB=$\sqrt{2}$MN，点P是BC的中点，连接AN、PM，若AB=6，则当AN+PM的最小值时，线段AN的长度为（　　）

• A． 4
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 6
• D． 3$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 过P作PE∥BD交CD于E，连接AE交BD于N，过P作PM∥AE交BD于M，此时，AN+PM的值最小，根据三角形的中位线的性质得到PE=$\frac{1}{2}$BD，根据平行四边形的性质得到EN=PM，根据勾股定理得到AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：过P作PE∥BD交CD于E，连接AE交BD于N，过P作PM∥AE交BD于M，此时，AN+PM的值最小，
∵P是BC的中点，
∴E为CD的中点，
∴PE=$\frac{1}{2}$BD，
∵AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，AB=$\sqrt{2}$MN，
∴MN=$\frac{1}{2}$BD，
∴PE=MN，
∴四边形PENM是平行四边形，
∴EN=PM，
∵AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵AB∥CD，
∴△ABN∽△EDN，
∴$\frac{AN}{NE}$=$\frac{AB}{DE}$=2，
∴AN=2$\sqrt{5}$，
故选B．

点评 本题考查了正方形的性质，轴对称-最短距离问题，平行三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，相似三角形的，正确的作出M，N的位置是解题的关键．