Question

1．“养生薪春，中国艾都”，我县今年6月获得“中国艾都”称号，其中我县某公司生产的“时珍牌”艾条畅销国内外，该公司生产的艾条每盒成本为20元，其销售y（万盒）与销售价格x（元/盒）的变化如下表，销售过程中的其他开支（不含成本）总计40万元．

价格x（元/盒）	…	30	40	50	60	…
销售量y（万盒）	…	5	4	3	2	…

（1）观察并分析表格中y与x的对应关系，用学过的函数知识写出y与x的函数解析式；
（2）求出该公司生产，销售这种艾条的净利润z（万元）与销售价格x（元/盒）的函数关系式，并求出销售价格定位多少时净利润最大？最大值是多少？
（3）改公司要求净利润不低于40万元，请写出销售价格x（元/盒）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据表格中的数据可以判断y与x的函数关系符合一次函数，从而可以求得y与x的函数解析式；
（2）根据题意可以求得净利润z（万元）与销售价格x（元/盒）的函数关系式，然后将函数关系式化为顶点式即可求得销售价格定位多少时净利润最大，最大值是多少；
（3）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得自变量x的取值范围．

解答 解：（1）设y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{30k+b=5}\\{40k+b=4}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{k=-0.1}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴y与x的函数解析式是y=-0.1x+8；
（2）由题意可得，
z=（x-20）（-0.1x+8）-40=-0.1x²+10x-200=-0.1（x-50）²+50，
∴当x=50时，z取得最大值，此时z=50，
即当销售价为50元/盒时，净利润最大为50万元；
（3）由题意可得，
-0.1x²+10x-200≥40，
解得，40≤x≤60，
即改公司要求净利润不低于40万元，销售价格x（元/盒）的取值范围是40≤x≤60．

点评 本题考查二次函数的应用、解不等式，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的顶点式求函数的最值，由不等式可以求得自变量的取值范围．