Question

16．如图1所示，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D在边AB上．

（1）若DE经过点C，且AD=CD=BD，DF交AC于点G，求重叠部分（△DCG）的面积；
（2）思考探究：“数学学习小组”的几位同学受到启发，保持（1）中的点D不动，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求△ADH的面积．

Answer 1

分析 （1）先求出∠B=∠DCB，再证明DG∥BC，然后证出DG⊥AC，G是AC的中点，即可求出重叠部分（△DCG）的面积；
（2）先证明AG=GH，再求出AD，然后证明△ADH∽△ACB，得出比例式$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DH}{CB}$，求出DH，即可求出△ADH的面积．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴DC=DB=DA，
∴∠B=∠DCB，
又∵△ABC≌△FDE，
∴∠FDE=∠B，
∴∠FDE=∠DCB，
∴DG∥BC，
∴∠AGD=∠ACB=90°，
∴DG⊥AC，
又∵DC=DA，
∴G是AC的中点，
∴CG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×8=4，DG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴S_△DCG=$\frac{1}{2}$×CG×DG=$\frac{1}{2}$×4×3=6．

（2）如图2，∵△ABC≌△FDE，
∴∠B=∠1，
∵∠C=90°，ED⊥AB，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°，
∴∠B=∠2，
∴∠1=∠2，
∴GH=GD，
∵∠A+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠A=∠3，
∴AG=GD，
∴AG=GH，
∴点G为AH的中点，
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∵D是AB中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=5，
在△ADH与△ACB中，
∵∠A=∠A，∠ADH=∠ACB=90°，
∴△ADH∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DH}{CB}$，即$\frac{5}{8}$=$\frac{DH}{6}$，
∴DH=$\frac{15}{4}$，
∴S_△ADH=$\frac{1}{2}$×DH×AD=$\frac{1}{2}$×$\frac{15}{4}$×5=$\frac{75}{8}$．

点评 本题考查了全等三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理和三角形面积的计算的综合应用；解决问题的关键是根据相似三角形的对应边成比例，列出比例式进行求解．