Question

13． 如图，抛物线y=ax²+bx+c的开口向下，与x轴和y轴分别交于点A（-4，0）和点B（0，2），过点B作BC⊥AB交抛物线于点C，连接AC，且∠BAC=∠BAO．
（1）求BC的长；
（2）求抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理，可得AB的长，根据相似三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据两点间的距离，可得两个方程，根据解方程，可得C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式．

解答 解：（1）在Rt△AOB中，由勾股定理，得
AB=$\sqrt{{AO}^{2}{+BO}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=∠AOB=90°，
∵∠CAB=∠BAO，
∴△CAB∽△BAO，
$\frac{BC}{BO}$=$\frac{AB}{AO}$，即$\frac{BC}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{4}$，
BC=$\sqrt{5}$；

（2）设C点坐标为（m，n），由勾股定理，
AC=$\sqrt{{AB}^{2}{+BC}^{2}}$=5．
AC²=25，BC²=5，
即$\left\{\begin{array}{l}{{（m+4）}^{2}{+n}^{2}=25}\\{\;}\\{{m}^{2}{+（n-2）}^{2}=5}\end{array}\right.$，
解得m=-1，m=1（舍），n=4，
即C点坐标（-1，4）．
将A，B，C点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=4}\\{16a-4b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{5}{6}}\\{b=-\frac{17}{6}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-$\frac{5}{6}$x²-$\frac{17}{6}$x+2．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用相似三角形的判定与性质；解（2）的关键是利用两点间的距离求出C点坐标，又利用了待定系数法．