Question

16．在△ABC中，点D是AB边上一点（不与AB重合），AD=kBD，过点D作∠EDF+∠C=180°，与CA、CB分别交于E、F．
（1）如图1，当DE=DF时，求$\frac{AC}{BC}$的值．
（2）如图2，若∠ACB=90°，∠B=30°，DE=m，求DF的长（用含k，m的式子表示）

Answer 1

分析 （1）连接CD，由∠EDF+∠C=180°，推出D，E，C，F四点共圆，根据正弦定理得$\frac{AD}{sin∠ACD}=\frac{AC}{sin∠ADC}$ ①，$\frac{BD}{sin∠ADC}=\frac{BC}{sin∠BDC}$，②，①÷②得，$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BC}$，根据AD=kBD，根据得到结论；
（2）根据三角形的内角和得到∠A=60°，根据正弦定理得：$\frac{AD}{sin∠DEA}=\frac{DE}{sin∠A}$=$\frac{DE}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$   ③，$\frac{BD}{sin∠DFB}=\frac{DF}{sin∠B}=\frac{DF}{\frac{1}{2}}$，④，④÷③得：$\frac{\sqrt{3}DF}{DE}=\frac{BD}{AD}$，求得DF=$\frac{\sqrt{3}DE}{3}•\frac{BD}{AD}$，即可得到结论．

解答 解：如图1，连接CD，
∵∠EDF+∠C=180°，
∴D，E，C，F四点共圆，
∵DE=DF，
∴∠DCE=∠DCF，
根据正弦定理得$\frac{AD}{sin∠ACD}=\frac{AC}{sin∠ADC}$   ①，
$\frac{BD}{sin∠DCB}=\frac{BC}{sin∠BDC}$，
∴$\frac{BD}{sin∠ADC}=\frac{BC}{sin∠BDC}$，②，
∵∠ADC=180°-∠BDC，
∴sin∠ADC=sin∠BDC，
①÷②d得，$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BC}$，
∵AD=kBD，
∴$\frac{AC}{BC}$=k；

（2）∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
根据正弦定理得：$\frac{AD}{sin∠DEA}=\frac{DE}{sin∠A}$=$\frac{DE}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$   ③，$\frac{BD}{sin∠DFB}=\frac{DF}{sin∠B}=\frac{DF}{\frac{1}{2}}$，④，
由（1）知D，E，C，F四点共圆，
∴∠DEA+∠DFB=180°，
∴sin∠DEA=sin∠DFB，④÷③得：$\frac{\sqrt{3}DF}{DE}=\frac{BD}{AD}$，
∴DF=$\frac{\sqrt{3}DE}{3}•\frac{BD}{AD}$，
∵AD=kBD，DE=m，
∴DF=$\frac{\sqrt{3}m}{3k}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的内角和，三角函数的定义，正弦定理，正确掌握正弦定理是解题的关键．