如图(1).已知正方形ABCD在直线MN的上方.BC在直线MN上.E是线段BC上一动点.以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG.使顶点G恰好落在射线CD上.连接FC．(1)求证:△ADG≌△ABE,(2)图1中.当点E由B向C运动时.∠FCN的大小总保持不变.请求出∠FCN的大小,中正方形ABCD改为矩形ABCD.AB=a.BC=b.判断当点E由B向C运动时.∠FCN� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上，连接FC．
（1）求证：△ADG≌△ABE；
（2）图1中，当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，请求出∠FCN的大小；
（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．

分析（1）根据正方形、矩形的性质以及同角的余角相等得到∠BAE=∠DAG，根据全等三角形的判定定理证明△BAE≌△DAG；
（2）作FH⊥MN于H，证明△EHF≌△ABE，得到FH=BE，根据等腰直角三角形的性质求出∠FCN的度数；
（3）作FP⊥MN于P，证明△EFP≌△AGD，得到EP=AD=BC=b，证明△EFP∽△AEB，根据相似三角形的性质和正切的概念解答即可．

解答（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是矩形，
∴AB=AD，∠BAD=∠EAG=∠ABE=∠ADG=90°，
∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，
∴∠BAE=∠DAG，
在△ADG和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠DAG}\\{AB=AD}\\{∠ABE=∠ADG}\end{array}\right.$
∴△BAE≌△DAG（AAS）；
（2）∠FCN=45°．
理由如下：作FH⊥MN于H，
∵∠AEF=∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，
∴∠FEH=∠BAE，
∵∠EBA=∠FHE=90°，∠BAE=∠FEH，
∵Rt△BAE≌Rt△DAG，
∴AE=AG=EF，
在△EHF和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠HEF}\\{ABE=∠EHF}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△EHF≌△ABE（AAS），
∴FH=BE，EH=AB=BC，
∴CH=BE=FH，
∵∠FHC=90°，
∴∠FCH=45°；
（3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变．
理由如下：如图（2）作FP⊥MN于P．
由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，
结合（1）易得∠FEH=∠BAE=∠DAG，
又∵G在射线CD上，∴∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，
在△EFH和△AGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GDA=∠FPE}\\{∠DAG=∠FEP}\\{AG=EF}\end{array}\right.$，
∴△EFP≌△AGD（AAS），
∴EP=AD=BC=b，CP=BE，
∵∠BAE=∠FEP，∠ABE=∠FPE，
∴△EFP∽△AEB，
∴$\frac{EP}{AB}=\frac{FP}{BE}=\frac{EP}{CP}$，
∵在Rt△FEH中，tan∠FCN=$\frac{FP}{CP}=\frac{EP}{AB}=\frac{b}{a}$，
∴当点E沿射线CN运动时，tan∠FCN=$\frac{b}{a}$．