如图1.△AHC中.∠AHC=90°.将△AHC绕点H逆时针旋转90°.得到△BHD(点B.D分别是点A.C的对应点).若BC=4.tanC=3．(1)求线段CH的长,(2)将△BHD绕点H旋转.得到△EHF①如图2.当点F落在线段AC上时.连接AE.分别求CF和AE的长,②如图3.当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时.设射线CF与AE相交于点G.连接GH.试探� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．如图1，△AHC中，∠AHC=90°，将△AHC绕点H逆时针旋转90°，得到△BHD（点B、D分别是点A、C的对应点），若BC=4，tanC=3．
（1）求线段CH的长；
（2）将△BHD绕点H旋转，得到△EHF（点B，D分别于点E，F对应）
①如图2，当点F落在线段AC上时，连接AE，分别求CF和AE的长；
②如图3，当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由．

分析（1）由题意设AH=BH=x，根据BC=4，tanC=3，可得$\frac{4-x}{x}$=3，解方程即可；
（2）①如图，作HP⊥AE于P，HJ⊥AC于J．根据△EHA∽△FHC，得到，HP=3AP，AE=2AP，分别在Rt△APH，Rt△CHJ中解直角三角形即可．
②先判断出△AGQ∽△CHQ，得到 $\frac{AQ}{GQ}$=$\frac{CQ}{HQ}$，然后判断出△AQC∽△GQH，用相似比即可．

解答解：（1）∵△BDH是由△AHC旋转所得，
∴BH=AH，设BH=AH=x，
在Rt△ACH中，tan∠CAH=$\frac{CH}{AH}$=3，
∴$\frac{4-x}{x}$=3，
解得x=3，
∴CH=1．

（2）①如图，作HP⊥AE于P，HJ⊥AC于J．

由旋转知，∠EHF=∠BHD=∠AHC=90°，EH=AH=3，CH=DH=FH，
∴∠EHA=∠FHC，$\frac{EH}{AH}$=$\frac{FH}{HC}$=1，
∴△EHA∽△FHC，
∴∠EAH=∠C，
∴tan∠EAH=tanC=3，
∴HP=3AP，AE=2AP，
在Rt△AHP中，AP²+HP²=AH²，
∴AP²+（3AP）²=9，
∴AP=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴AE=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
易知四边形APHJ是矩形，
∴HJ=AP=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∵HF=HC=1，HJ⊥CF，
∴CJ=FJ=$\sqrt{1-（\frac{3\sqrt{10}}{10}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴CF=$\frac{2\sqrt{10}}{10}$．

②如图1，

∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到，
∴HD=HF，∠AHF=30°
∴∠CHF=90°+30°=120°，
由①有，△AEH和△FHC都为等腰三角形，
∴∠GAH=∠HCG=30°，
∴CG⊥AE，
∴点C，H，G，A四点共圆，
∴∠CGH=∠CAH，
设CG与AH交于点Q，
∵∠AQC=∠GQH，
∴△AQC∽△GQH，
∴$\frac{AC}{HG}$=$\frac{AQ}{GQ}$=$\frac{1}{sin30°}$=2，
∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到，
∴EF=BD，
由（1）知，BD=AC，
∴EF=AC
∴$\frac{EF}{HG}$=$\frac{AC}{GH}$=$\frac{AQ}{GQ}$=$\frac{1}{sin30°}$=2．