Question

【题目】【问题情境】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图①，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：

（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是 ．

A．SSS B．SAS C．AAS D．HL

（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 ．

解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．

【初步运用】

如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2，求线段BF的长．

【灵活运用】

如图③，在△ABC中， ∠A＝90°，D为BC中点， DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】【问题提出】（1）B；（2）2＜AD＜10；【初步运用】5；【灵活运用】猜想：BE2＋CF2＝EF2，证明见解析.

【解析】试题分析：【问题提出】（1）根据AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；（2）根据全等得出BE=AC=8，AE=2AD，由三角形三边关系定理得出12-8<2AD<12+8，求出即可；

【初步运用】延长AD到M，使AD=DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM=AC，∠CAD=∠M，根据AE=EF，推出∠CAD=∠AFE=∠BFD，求出∠BFD=∠M，根据等腰三角形的性质求出即可；

【灵活运用】延长FD至G，使得DG＝DF，连接BG、EG，根据SAS证△FDC≌△GDB，由全等三角形的性质得到CF＝BG，∠FCD＝∠GBD，由线段垂直平分线的性质得EF＝EG，由同角的余角相等证∠EBG＝90°，在Rt△EBG中用勾股定理即可得证.

试题解析：

【问题提出】(1)∵在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=CD，

∴△ADC≌△EDB(SAS)，

故选B；

（2）∵由(1)知：△ADC≌△EDB，

∴BE=AC=8，AE=2AD，

∵在△ABE中，AB=12，由三角形三边关系定理得：128<2AD<12+8，

∴2<AD<10，

故答案为：2<AD<10；

【初步运用】

如图，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM

∵AD是△ABC中线

∴BD＝DC

又∵∠ADC＝∠MDB

∴△ADC≌△MDB

∴BM＝AC，∠CAD＝∠M

∵AE＝EF

∴∠CAD＝∠AFE

∵∠AFE＝∠BFD

∴∠BFD＝∠CAD＝∠M

∴BF＝BM＝AC＝3＋2＝5；

【灵活运用】

猜想：BE2＋CF2＝EF2

理由：如图，延长FD至G，使得DG＝DF，连接BG、EG，则△FDC≌△GDB．

∴CF＝BG，∠FCD＝∠GBD，

∵DF＝DG，DE⊥DF，

∴EF＝EG，

在△ABC中，∵∠A＝90°，

∴∠EBC＋∠FCB＝90°，

∴∠EBC＋∠GBD＝90°，即∠EBG＝90°，

∴在Rt△EBG中，BE2＋BG2＝EG2，

∴BE2＋CF2＝EF2．