题目内容
【题目】如图1,小红家阳台上放置了一个晒衣架.如图2是晒衣架的侧面示意图,立杆AB、CD相交于点O,B、D两点立于地面,经测量:AB=CD=136cm,OA=OC=51cm,OE=OF=34cm,现将晒衣架完全稳固张开,扣链EF成一条直线,且EF=32cm.
(1)求证:AC∥BD;
(2)求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数(精确到0.1°);
(3)小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm,垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面?请通过计算说明理由.
(参考数据:sin61.9°≈0.882,cos61.9°≈0.471,tan61.9°≈0.553;可使用科学计算器)
【答案】(1)证明参见解析;(2) 61.9°;(3) 小红的连衣裙会拖落到地面.理由参见解析.
【解析】
试题分析:(1)根据等角对等边和对顶角相等得出∠OAC=∠OCA=(180-∠AOC)和∠OBD=∠ODB=(180-∠BOD),∠AOC=∠BOD进而利用平行线的判定得出即可;或利用三角形相似和平行线判定可得出结论;(2)首先过点O作OM⊥EF于点M,则EM=16cm,利用cos∠OEF=0.471,即可得出∠OEF的度数;(3)首先证明Rt△OEM∽Rt△ABH,进而得出AH的长即可.
试题解析:(1)方法一:∵AB、CD相交于点O,∴∠AOC=∠BOD,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=(180-∠AOC),同理可证:∠OBD=∠ODB=(180-∠BOD),∴∠OAC=∠OBD,∴AC∥BD;方法二:AB=CD=136cm,OA=OC=51cm,∴OB=OD=85cm,∴,又∵∠AOC=∠BOD,∴△AOC∽△BOD, ∴∠OAC=∠OBD;∴AC∥BD;(2)在△OEF中,OE=OF=34cm,EF=32cm;过点O作OM⊥EF于点M,则EM=16cm;∴cos∠OEF=
0.471,用科学计算器求得∠OEF=61.9°;(3)方法一:小红的连衣裙会拖落到地面;在Rt△OEM中,OM== =30cm,过点A作AH⊥BD于点H,同(1)可证:EF∥BD,∴∠ABH=∠OEM,则Rt△OEM∽Rt△ABH,∴,AH=cm,因为小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm>晒衣架的高度AH=120cm.所以小红的连衣裙会拖落到地面.方法二:小红的连衣裙会拖落到地面;同(1)可证:EF∥BD,∴∠ABD=∠OEF=61.9°;过点A作AH⊥BD于点H,在Rt△ABH中sin∠ABD=,AH=AB×sin∠ABD=136×sin61.9°=136×0.882≈120.0cm,因为小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm>晒衣架的高度AH=120cm.所以小红的连衣裙会拖落到地面.