Question

4．在直角坐标系中，抛物线y=x²+mx-$\frac{3}{4}$m²（m＞0）与x轴交于A、B两点，若A、B两点到原点的距离分别为OA、OB，且满足$\frac{1}{OB}-\frac{1}{OA}=\frac{2}{3}$，求m的值．

Answer 1

分析 先求出抛物线与x轴的两个交点的坐标，得出OA、OB的长，代入关系式，即可求出m的值．

解答 解：当y=0时，x²+mx-$\frac{3}{4}$m²=0，
解得：x=-$\frac{3}{2}$m，或x=$\frac{1}{2}$m；
分两种情况：①当点A在点B的左侧时，
A（-$\frac{3}{2}$m，0），B（$\frac{1}{2}$m，0），
∴OA=$\frac{3}{2}$m，OB=$\frac{1}{2}$m，
∵$\frac{1}{OB}-\frac{1}{OA}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{\frac{1}{2}m}$-$\frac{1}{\frac{3}{2}m}$=$\frac{2}{3}$，
解得：m=2．
②当点A在点B的右侧时，B（-$\frac{3}{2}$m，0），A（$\frac{1}{2}$m，0），
∴OB=$\frac{3}{2}$m，OA=$\frac{1}{2}$m，
∵$\frac{1}{OB}-\frac{1}{OA}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{\frac{3}{2}m}$-$\frac{1}{\frac{1}{2}m}$=$\frac{2}{3}$，
解得：m=-2，
∵m＞0，
∴m=-2不合题意，舍去；
综上所述：m的值为2．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点坐标的求法、解方程等知识；熟练掌握抛物线与x轴的交点特征，求出抛物线与x轴的交点坐标是解决问题的关键．