Question

14．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，将此矩形折叠，使点D落在AB边上的点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交点G．设AE=x，四边形EFHQ的面积为y，则y关于x的函数解析式是y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{9}{8}$x+6．．

Answer 1

分析 连接EH，由四边形ABCD是矩形，得到∠A=∠B=∠C=∠D=90°，CD=AB=3，BC=AD=4，由折叠的性质得：EF=DF，于是得到AF=4-EF，在直角三角形AEF中，AE²+AF²=EF²，求出EF=$\frac{{x}^{2}+16}{8}$，根据勾股定理列方程BE²+BH²=QE²+QH²，求出QH=$\frac{16-6x+{x}^{2}}{8}$，于是得到结论．

解答 解：连接EH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
CD=AB=3，BC=AD=4，
由折叠的性质得：EF=DF，
∴AF=4-EF，
在直角三角形AEF中，AE²+AF²=EF²，
∴EF=$\frac{{x}^{2}+16}{8}$，
∵△EQH与△EBH是直角三角形，
∴BE²+BH²=QE²+QH²，
（AB-AE）²+（BC-QH）²=EQ²+QH²，
∴（3-x）²+（4-QH）²=9²+QH²，
∴QH=$\frac{16-6x+{x}^{2}}{8}$，
∴y=$\frac{1}{2}$（QH+EF）•CD=$\frac{1}{2}$（$\frac{{x}^{2}+16}{8}$+$\frac{16-6x+{x}^{2}}{8}$）×3
∴y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{9}{8}$x+6．
故答案为：y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{9}{8}$x+6．

点评 本题考查了翻折变换问题-折叠，勾股定理，矩形的性质，熟记折叠的性质是解题的关键．