Question

1．如图，沿△ABC的各边想同侧作正三角形ABD、BCF、ACE．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形．
（2）当∠BAC为多少度时，四边形AEFD是矩形？
（3）当△ABC的边满足什么条件时，四边形AEFD是菱形？

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出AC=CE=AE，AB=AD=BD，BC=CF=BF，∠BCF=∠ACE=60°，求出∠BCA=∠FCE，证△BCA≌△FCE，得出EF=BA=AD，同理DF=AC=AE，即可得出结论；
（2）求出∠DAE的度数，根据矩形的判定得出即可；
（3）再由AB=AC得出四边形AEFD是菱形．

解答 （1）证明：∵△ABD、△BCE、△ACE是等边三角形，
∴AC=CE=AE，AB=AD=BD，BC=CF=BF，∠BCF=∠ACE=60°，
∴∠BCA=∠FCE=60°-∠ACF，
在△BCA和△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=CF}\\{∠BCA=∠FCE}\\{AC=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCA≌△FCE（SAS），
∴EF=BA=AD，
同理：DF=AC=AE，
∴四边形DAEF是平行四边形；
（2）当∠A=150°时，四边形DAEF是矩形，理由如下：
∵△ABD、△ACE是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAE=360°-60°-60°-150°=90°，
∵四边形DAEF是平行四边形，
∴四边形DAEF是矩形，
（3）当AB=AC时四边形AEFD是菱形．
理由是：由（1）得：EF=AB=AD，DF=AC=AE，
∵AB=AC，
∴AD=AE，
∵四边形DAEF是平行四边形，
∴四边形DAEF是菱形．

点评 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定以及正方形的判定；解此题的关键是求出EF=BA=AD，DF=AC=AE，主要考查了学生的推理能力．