如图.在平面直角坐标系中.直线y=$\frac{1}{2}$x-1与抛物线y=-$\frac{1}{4}$x2+bx+c交于A.B两点.点A在x轴上.点B的横坐标为-8.点P是直线AB上方的抛物线上的一动点．(1)求该抛物线的函数关系式,(2)连接PA.PB.在点P运动过程中.是否存在某一位置.使△PAB恰好是一个以点P为直角顶点的等腰直角三角形.若存在.求出点P的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．如图，在平面直角坐标系中，直线y=$\frac{1}{2}$x-1与抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8，点P是直线AB上方的抛物线上的一动点（不与点A，B重合）．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）连接PA、PB，在点P运动过程中，是否存在某一位置，使△PAB恰好是一个以点P为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过P作PD∥y轴交直线AB于点D，以PD为直径作⊙E，求⊙E在直线AB上截得的线段的最大长度．

分析（1）根据直线y=$\frac{1}{2}$x-1与抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8，求出点A（2，0），B（-8，-5）利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）假设存在这样点P，使△PAB恰好是一个直角三角形，只有∠APB=90°，即AP⊥PB，设出点P的坐标，表示出直线PA，PB的解析式，由直线AP和直线PB的斜率乘积等于-1建立方程，则可求得点P的坐标，再利用勾股定理求得PA和PB，进行判断即可；
（3）先判断出∠OCA=∠QDF进而得出△AOC∽△PFD，得出DF=$\frac{1}{\sqrt{5}}$PD，最后建立DF=PD=$\frac{1}{\sqrt{5}}$×（-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4），即可得出结论．

解答解：
（1）∵点A在x轴上，点B的横坐标为-8，且在直线y=$\frac{1}{2}$x-1，
∴A（2，0），B（-8，-5），
∵点A，B在抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c上，
∴0=-1+2b+c，-16-8b+c=-5，
∴b=-1，c=3，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²-x+3；

（2）解：假设存在这样点P，使△PAB恰好是一个等腰直角三角形，
∵△PAB是以P为顶点的等腰直角三角形，
∴∠APB=90°，PA=PB，
设P（x，-$\frac{1}{4}$x ²-x+3），而A坐标为（2，0），B坐标为（-8，-5），
则PA²=（x-2）²+（-$\frac{1}{4}$x ²-x+3）²，PB²=（x+8）²+（-$\frac{1}{4}$x ²-x+3+5）²，
∴（x-2）²+（-$\frac{1}{4}$x ²-x+3）²=（x+8）²+（-$\frac{1}{4}$x ²-x+3+5）²，解得x=2+5$\sqrt{2}$或x=2-5$\sqrt{2}$，
此时PA²=PB²=$\frac{1625}{4}$+250$\sqrt{2}$，
∵A（2，0），B（-8，-5），
∴AB²=（2+8）²+5²=125，
∴PA²+PB²≠AB²，
∴不存在使△PAB恰好是一个以点P为直角顶点的等腰直角三角形；
（3）如图，

∵OA=2，OC=1，
∴AC=$\sqrt{5}$，
∵PD∥OC，
∴∠OCA=∠QDF，
∵∠PFD=∠AOC=90°，
∴△AOC∽△PFD，
∴$\frac{DF}{PD}$=$\frac{OC}{AC}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴DF=$\frac{1}{\sqrt{5}}$PD，
设D（x，$\frac{1}{2}$x-1），P（x，-$\frac{1}{4}$x²-x+3），
∴PD=-$\frac{1}{4}$x²-x+3-$\frac{1}{2}$x+1=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4，
∴DF=PD=$\frac{1}{\sqrt{5}}$×（-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4），
∴当x=-3时，DF_最大=$\frac{1}{\sqrt{5}}$×（-$\frac{1}{4}$×3²+$\frac{3}{2}$×3+4）=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$．