Question

5．已知：△ABC中，ED∥BC，BD与CE交于点O，连接AO并延长交BC于点M，求证：M是BC中点．

Answer 1

分析 根据相似三角形的判定定理得到△ADG∽△ABM，△AEG∽△ACM，由相似三角形性质得到$\frac{DG}{BM}=\frac{AG}{AM}$，$\frac{GE}{CM}=\frac{AG}{AM}$，等量代换得到$\frac{DG}{EG}=\frac{BM}{CM}$，同理可得$\frac{DG}{EG}=\frac{CM}{BM}$，等量代换$\frac{BM}{CM}=\frac{CM}{BM}$，即可得到结论．

解答 证明：∵ED∥BC，
∴△ADG∽△ABM，△AEG∽△ACM，
∴$\frac{DG}{BM}=\frac{AG}{AM}$，$\frac{GE}{CM}=\frac{AG}{AM}$，
∴$\frac{DG}{BM}=\frac{EG}{CM}$，
即$\frac{DG}{EG}=\frac{BM}{CM}$，
∵ED∥BC，
∴△DGO∽△CMO，△GEO∽△BMO，
∴$\frac{DG}{CM}=\frac{OG}{OM}$，$\frac{GE}{BM}=\frac{OG}{OM}$，
∴$\frac{DG}{CM}=\frac{GE}{BM}$，
即$\frac{DG}{EG}=\frac{CM}{BM}$，
∴$\frac{BM}{CM}=\frac{CM}{BM}$，
∴M是BC中点．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是利用平行线构造相似三角形，然后利用相似三角形的性质进行计算和判断线段之间的关系．