Question

4．已知一次函数y=k（x+5）和反比例函数y=$\frac{6}{x}$的图象都经过点P（3，m）．
（1）求k的值以及两函数图象交点的坐标．
（2）平行于x轴的直线y=a（a≠0）与这个一次函数的图象相交于点A，与这个反比例函数的图象相交于点B，且PA=PB．求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出点P坐标以及一次函数解析式，解方程组求交点坐标．
（2）用a表示点A、B坐标，作PD⊥AB于D，则D（3，a），分两种情形①当a＞0时，②当a＜0时讨论即可．

解答 解：（1）把P（m，3）代入y=$\frac{6}{x}$得m=2，则P的坐标是（3，2）．
把（3，2）代入y=k（x+5）得k=$\frac{1}{4}$，
则一次函数的解析式是y=$\frac{1}{4}$（x+5）．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}（x+5）}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-8}\\{y=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$．
则两个函数的交点坐标是P（3，2）和Q（-8，-$\frac{3}{4}$）；

（2）∵行于x轴的直线y=a（a≠0）与这个一次函数的图象相交于点A，与这个反比例函数的图象相交于点B，
∴A（4a-5，a），B（$\frac{6}{a}$，a），
作PD⊥AB于D，则D（3，a），
①当a＞0时，∵PA=PB，
∴DA=DB，
∴4a-5+$\frac{6}{a}$=6，
∴a=2或$\frac{3}{4}$，
②当a＜0时，A、B重合于点Q，即a=-$\frac{3}{4}$也满足条件，
综上所述，a=2或±$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题、等腰三角形的性质，中点坐标公式等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用中点坐标公式，构建方程解决问题，属于中考常考题型．