Question

5．如图，直线y=$\frac{1}{2}$x与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y=$\frac{1}{2}$x向上平移3个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）交于点B，若OA=3BC，则k的值为$\frac{81}{32}$．

Answer 1

分析 作AE⊥y轴于E，BF⊥y轴于F．由△AEO∽△BFC，得到=$\frac{BF}{AE}$=$\frac{BC}{OA}$=$\frac{1}{3}$，设A（m，$\frac{1}{2}$m），则B（$\frac{1}{3}$m，$\frac{1}{6}$m+3），想办法列方程组求出m、k即可．

解答 解：如图，作AE⊥y轴于E，BF⊥y轴于F．

∵OA∥BC，
∴∠BCF=∠AOE，∵∠BFC=∠AEO，
∴△AEO∽△BFC，
∴$\frac{BF}{AE}$=$\frac{BC}{OA}$=$\frac{1}{3}$，设A（m，$\frac{1}{2}$m），则B（$\frac{1}{3}$m，$\frac{1}{6}$m+3），
由题意$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{6}m+3=\frac{3k}{m}}\\{\frac{1}{2}{m}^{2}=k}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{9}{4}}\\{k=\frac{81}{32}}\end{array}\right.$，
∴K=$\frac{81}{32}$，
故答案为$\frac{81}{32}$．

点评 本题考查一次函数与反比例函数的交点问题、相似三角形的判定和性质，二元一次方程组等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造相似三角形，学会利用方程组解决问题，属于中考常考题型．