Question

3．如图，在等边△ABC中，已知AD是∠BAC的角平分线，E为AD延长线上一点，以CE为一边且在CE以左作等边△CEF，连接BF．
（1）求证：AE=BF；
（2）若BC=8，EC=15，求四边形EFBD的面积．
（3）在（2）的条件下，延长FB，P为射线FB上一点，CP=5，且∠CPF＜90°，若点Q在射线FB上，且以Q、C、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，求CQ的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明△FCB≌△ECA即可；
（2）由△FCB≌△ECA，可知S_△BCF=S_△AEC，推出S_{四边形EFDB}=S_{四边形EFBC}-S_△EDC=S_△EFC+S_△BCF-（S_△AEC+S_△ADC）=S_△EFC-S_△ADC，由此即可解决问题；
（3）作CH⊥PF于H．由△FCB≌△ECA，推出∠EAC=∠FBC=150°，推出∠CBH=30°，解直角三角形即可解决问题；

解答 （1）证明：∵△ABC，△CEF都是等边三角形，
∴CB=CA，CF=CE，∠ACB=∠ECF，
∴∠FCB=∠ECA，
∴△FCB≌△ECA，
∴BF=AE．

（2）解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD=4，
∵△FCB≌△ECA，
∴S_△BCF=S_△AEC，
∵S_{四边形EFDB}=S_{四边形EFBC}-S_△EDC
=S_△EFC+S_△BCF-（S_△AEC+S_△ADC）
=S_△EFC-S_△ADC
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×15²-$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$
=$\frac{193}{4}$$\sqrt{3}$．

（3）解：作CH⊥PF于H．
∵△FCB≌△ECA，
∴∠EAC=∠FBC=150°，
∴∠CBH=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$BC=4，
在Rt△CHP中，PH=$\sqrt{P{C}^{2}-C{H}^{2}}$=3，
在Rt△CHP中，CH=4，HQ=HP+PQ=3+5=8，
∴CQ=$\sqrt{C{H}^{2}+H{Q}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形，属于中考压轴题．