Question

5．在△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将△ABC沿BC方向平移，得到△A'CC'，以C为位似中心，作△DEC与△ABC位似，位似比为1：2，若F为CC'的中点，连接DF，A'F，则$\frac{A'F}{DF}$的值为1或$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 设AB=BC=2x，①如图1，当点D在AC上时，根据平移的性质及中点的定义得出CF=x，继而可得A′F=$\sqrt{A′{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，由位似图形的性质可得DE=CE=x、EF=2x，继而知DF=$\sqrt{D{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，即可得$\frac{A'F}{DF}$的值；②如图2，当点D在AC延长线上时，由①知A′F=$\sqrt{A′{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，DF=DE=x，即可得$\frac{A'F}{DF}$的值．

解答 解：设AB=BC=2x，
①如图1，当点D在AC上时，

∵△ABC≌△A′CC′，
∴A′C=CC′=2x，
∵F为CC'的中点，
∴CF=x，
则A′F=$\sqrt{A′{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
又∵△DEC∽△ABC，且$\frac{DE}{AB}$=$\frac{CE}{CB}$=$\frac{1}{2}$，
∴DE=CE=x，
则EF=2x，
∴DF=$\sqrt{D{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
∴$\frac{A'F}{DF}$=$\frac{\sqrt{5}x}{\sqrt{5}x}$=1；
②如图2，当点D在AC延长线上时，

由①知A′F=$\sqrt{A′{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，DF=DE=x，
∴$\frac{A'F}{DF}$=$\frac{\sqrt{5}x}{x}$=$\sqrt{5}$，
故答案为：1或$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查平移的性质及位似图形的性质、勾股定理，熟练掌握平移的性质及位似图形的性质是解题的关键．