Question

14．如图，二次函数y=-x²+3x+m的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点．
（1）求m的值及C点坐标；
（2）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q．
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
②点P的横坐标为t（0＜t＜4），当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）①先判断出四边形PBQC时菱形时，点P是线段BC的垂直平分线，利用该特殊性建立方程求解；
②先求出四边形PBCQ的面积与t的函数关系式，从而确定出它的最大值．

解答 解：（1）将B（4，0）代入y=-x²+3x+m，解得，m=4，
∴二次函数解析式为y=-x²+3x+4，
令x=0，得y=4，
∴C（0，4）．

（2）①如图，∵点P在抛物线上，
∴设P（m，-m²+3m+4），
当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上，
∵B（4，0），C（0，4）
∴线段BC的垂直平分线的解析式为y=x，
∴m=-m²+3m+4，
∴m=1±$\sqrt{5}$，
∴P（1+$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$）或P（1-$\sqrt{5}$，1-$\sqrt{5}$）．

②如图，设点P（t，-t²+3t+4），过点P作y轴的平行线l交BC与D，交x轴与E；
过点C作l的垂线交l与F，
∵点D在直线BC上，
∴D（t，-t+4），
∵B（4，0），C（0，4），
∴直线BC解析式为y=-x+4，
∵PD=-t²+3t+4-（-t+4）=-t²+4t，BE+CF=4，
∴S_{四边形PBQC}=2S_△PCB=2（S_△PCD+S_△PBD）=2（$\frac{1}{2}$PD×CF+$\frac{1}{2}$PD×BE）=4PD=-4t²+16t，
∵0＜t＜4，
∴当t=2时，S_{四边形PBQC最大}=16

点评 此题是二次函数综合题，待定系数法、菱形的判定和性质、解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．