Question

如图，已知抛物线y=x²-2x+m与x轴交于，B两点，与y轴交于点C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在第四象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点C为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使四边形BCPQ为直角梯形？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把点C的坐标代入抛物线y=x²-2x+m求解即可，
（2）延长PC交x轴于点Q，先求出直线AC的解析式，再与抛物线的解析式联立求出P点的坐标即可，
（3）先求出PQ的解析式为y=x+b，再与抛物线的解析式联立求出Q点的坐标即可，

解答：解：（1）∵抛物线y=x²-2x+m与y轴交于点C（0，-3）．
∴m=-3，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．
（2）如图1，延长PC交x轴于点Q，

∵抛物线的解析式为y=x²-2x-3．
∴A（-1，0），B（3，0），
∴CO=BO，
∵∠PCB=90°，
∴∠CAB=45°，
∴直线AC的解析式为y=-x-3，
∴联立得

y=-x-3 y=x2-2x-3

，解得

x=0 y=-3

或

x=1 y=-4

，
∴P（1，-4）或P（0，-3）（舍去）
（3）存在．Q（2，-3）
如图2，设PQ的解析式为y=x+b，

∵把点P（1，-4）代入得-4=1+b，解得b=-5，
∴直线y=x-5，
联立

y=x-5 y=x2-2x-3

，解得

x=1 y=-4

或

x=2 y=-3

，
∴Q（1，-4）（舍去）或（2，-3）
∴Q（2，-3）．

点评：本题主要考查了二次函数的综合题，解题的关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解．