Question

如图所示，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为M（-2，-4），与x轴交于A、B两点，且A（-6，0），与x轴交于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使△APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据顶点坐标公式即可求得a、b、c的值，即可解题；
（2）易求得点B、C的坐标，即可求得OC的长，即可求得△ABC的面积，即可解题；
（3）作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，可将△APC的面积转化为△AFP和△CFP的面积之和，而这两个三角形有共同的底PF，这一个底上的高的和又恰好是A、C两点间的距离，因此若设设E（x，0），则可用x来表示△APC的面积，得到关于x的一个二次函数，求得该二次函数最大值，即可解题．

解答：解：（1）设此函数的解析式为y=a（x+h）²+k，
∵函数图象顶点为M（-2，-4），
∴y=a（x+2）²-4，
又∵函数图象经过点A（-6，0），
∴0=a（-6+2）²-4
解得a=

1

4

，
∴此函数的解析式为y=

1

4

（x+2）²-4，即y=

1

4

x²+x-3；
（2）∵点C是函数y=

1

4

x²+x-3的图象与y轴的交点，
∴点C的坐标是（0，-3），
又当y=0时，有y=

1

4

x²+x-3=0，
解得x₁=6，x₂=2，
∴点B的坐标是（2，0），
则S_△ABC=

1

2

|AB|•|OC|=

1

2

×8×3=12；
（3）假设存在这样的点，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F．
设E（x，0），则P（x，

1

4

x²+x-3），

设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵直线AC过点A（-6，0），C（0，-3），
∴

-6k+b=0 -3=b

，
解得

k=- 1 2 b=-3

，
∴直线AC的解析式为y=-

1

2

x-3，
∴点F的坐标为F（x，-

1

2

x-3），
则|PF|=-

1

2

x-3-（

1

4

x²+x-3）=-

1

4

x²-

3

2

x，
∴S_△APC=S_△APF+S_△CPF
=

1

2

|PF|•|AE|+

1

2

|PF|•|OE|
=

1

2

|PF|•|OA|=

1

2

（-

1

4

x²-

3

2

x）×6=-

3

4

x²-

9

2

x=-

3

4

（x+3）²+

27

4

，
∴当x=-3时，S_△APC有最大值

27

4

，
此时点P的坐标是P（-3，-

15

4

）．

点评：本题考查了抛物线解析式的求解，考查了一元二次方程的求解，考查了二次函数最值的求解，考查了二次函数的应用，本题中正确求得抛物线解析式是解题的关键．