Question

2．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=$\frac{3}{4}x-\frac{3}{2}$与抛物线y=-$\frac{1}{4}{x}^{2}+bx+c$交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8，与y轴交于点M．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．
①如图2，设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，则x的取值范围是-8＜x＜2，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值；
②如图3，连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变，当顶点F或G恰好在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用直线解析式求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）①利用直线解析式和抛物线解析式表示出PD，再利用同角的余角相等求出∠DPE=∠BAO，根据直线k值求出∠BAO的正弦和余弦值，然后表示出PE、DE，再根据三角形的周长公式列式整理即可得解，再根据二次函数的最值问题解答；
②点G在y轴上时，得到△ACP≌△GOA全等，根据全等三角形对应边相等可得PC=AO=2，然后利用二次函数解析式求解即可．

解答 解：（1）对于y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$，当y=0时，x=2，当x=-8时，y=-$\frac{15}{2}$，
∴A（2，0），B（-8，-$\frac{15}{2}$），
∵A，B在抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c，
∴0=-1+2b+c，-$\frac{15}{2}$=-16-8b+c，
∴b=-$\frac{3}{4}$，c=$\frac{5}{2}$．
∴y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{2}$．
（2）①设直线y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$与y轴交于点M，
∴M（0，-$\frac{3}{2}$），
∴OM=$\frac{3}{2}$，
∵A（2，0），
∴OA=2，
∴AM=$\sqrt{{OA}^{2}{+OM}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∴OM：OA：AM=3：4：5，
由题意有：∠PDE=∠OMA，∠AOM=PED=90°，
∴△AOM∽△PED，
∴DE：PE：PD=3：4：5，
∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点，
∴PD=y_P-y_D=（-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{2}$）-（$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4．
∴DE=$\frac{3}{5}$（-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4）．PE=$\frac{4}{5}$（-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4）
∴l=DE+PE+PD=$\frac{3}{5}$（-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4）+$\frac{4}{5}$（-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4）+（-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4）．
=-$\frac{3}{5}$（x+3）²+15．
∴当x=-3时，l_最大=15．
∵点P在直线AB上方的抛物线上，
∴-8＜x＜2
故答案为-8＜x＜2．
②满足题意的点有三个，分别为P₁（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，2），P₂（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$），P₃（$\frac{-7+\sqrt{89}}{2}$，$\frac{-7+\sqrt{89}}{2}$），
（Ⅰ）当点G落在y轴上时，△ACP≌△GOA，
∴PC=AO=2，
∴-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{2}$=2．
∴x=$\frac{-3±\sqrt{17}}{2}$，
∴P₁（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，2），P₂（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$）．
（Ⅱ）当点F落在y轴上时，同法可得：P₃（$\frac{-7+\sqrt{89}}{2}$，$\frac{-7+\sqrt{89}}{2}$），P₄（$\frac{-7-\sqrt{89}}{2}$，$\frac{-7-\sqrt{89}}{2}$）（舍）
∴满足题意的点有三个，分别为P₁（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，2），P₂（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$），P₃（$\frac{-7+\sqrt{89}}{2}$，$\frac{-7+\sqrt{89}}{2}$），

点评 此题主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数的应用，（1）①利用锐角三角函数用PD表示出三角形是周长是解题的关键，②难点在于分情况讨论．