Question

8．如图，已知AC∥BD，点P是直线CD上的一个动点（P点与点C、D不重合）
（1）如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间有什么关系，这种关系是否发生变化？
（2）若点P在C、D两点的外侧运动时，试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？

Answer 1

分析 （1）过点P作PE∥AC，根据平行线的性质得出∠CAP=∠APE，再由PE∥AC，AC∥BD得出PE∥BD，故可得出结论；
（2）当点P在C、D两点的外侧运动时分两种情况进行讨论．

解答 解：（1）如果P点在C、D之间运动时，∠PAC+∠PBD=∠APB，且此关系不变．
理由如下：过点P作PE∥AC，则∠CAP=∠APE，
∵PE∥AC，AC∥BD，
∴PE∥BD，
∴∠EPB=∠PBD，
∴∠APB=∠APE+∠EPB=∠PBD+∠CAP；

（2）当点P在C、D两点的外侧运动时，分两种情况：
①当点P在点C上方时，∠PBD=∠PAC+∠APB．
理由如下：如图过点P作PE∥AC，
则∠EPA=∠PAC，∠PBD=∠POC．
∵PE∥AC，AC∥BD，
∴PE∥BD，
∴∠EPB=∠PBD
∴∠PBD=∠POC=∠EPB=∠EPA+∠APB=∠PAC+∠APB．
②同理，当点P在点D下方时，∠PAC=∠PBD+∠APB．

点评 本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．