Question

6．如图，已知?ABCD和?ABEF，连接AC、DF、CE、AE，AC与DF交于点G，若AC=DF=AE．
（1）求证：△AEC为等边三角形；
（2）求∠AGF的度数；
（3）若点F、B、C在同一直线上，求证：四边形ABEF为菱形．

Answer 1

分析 （1）直接利用平行四边形的性质和判定方法得出四边形FDCE是平行四边形，进而得出DF=EC，再利用已知求出答案；
（2）利用等边三角形的性质结合平行四边形的性质得出答案；
（3）利用等边三角形的性质结合平行四边形的对角线互相平分，进而得出AE⊥BF，即可得出答案．

解答 （1）证明：∵在?ABCD和?ABEF中，
∴AB$\stackrel{∥}{=}$EF，AB$\stackrel{∥}{=}$DC，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$DC，
∴四边形FDCE是平行四边形，
∴FD=EC，
∵AC=DF=AE，
∴AE=AC=EC，
∴△AEC为等边三角形；

（2）解：∵△AEC为等边三角形，
∴∠ECA=60°，
∵四边形FDCE是平行四边形，
∴DF∥EC，
∴∠FGA=∠ECA=60°；

（3）证明：如图所示：连接FB，AE与BF相交于点O，
∵四边形ABEF是平行四边形，
∴AO=EO，
又∵△AEC为等边三角形，点F、B、C在同一直线上，
∴CO⊥AE，
∴AE⊥BF，
∴平行四边形ABEF是菱形．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，正确应用平行四边形的性质是解题关键．