Question

7．观察下面各式：
1²+（1×2）²+2²=（1×2+1）²
2²+（2×2）²+3²=（2×3+1）²
3²+（3×4）²+4²=（3×4+1）²
…
（1）写出第2005个式子；
（2）写出第n个式子，并说明你的结论．

Answer 1

分析 （1）仿照已知式子得出第2015个式子即可；
（2）以此类推得出第n个式子即可，进一步计算验证即可．

解答 解：（1）当n=1时，1²+（1×2）²+2²=（1×2+1）²；
当n=2时，2²+（2×3）²+3²=（2×3+1）²；
当n=3时，3²+（3×4）²+4²=（3×4+1）²；
…
第2005个式子即当n=2005时，有
2005²+（2005×2006）²+2006²=（2005×2006+1）²．
（2）第n个式子为n²+[n（n+1）]²+（n+1）²=[n（n+1）+1]²．证明如下：
∵n²+[n（n+1）]²+（n+1）²
=n²+n²（n+1）²+（n²+2n+1）
=n²+n²（n²+2n+1）+（n²+2n+1）
=n²+n⁴+2n³+n²+n²+2n+1
=n⁴+2n³+3n²+2n+1，
且[n（n+1）+1]²
=[n（n+1）²]+2[n（n+1）]•1+1²
=n²（n+1）²+2n（n+1）+1
=n²（n²+2n+1）+2n²+2n+1
=n⁴+2n³+n²+2n²+2n+1
=n⁴+2n³+3n²+2n+1，
∴n²+[n（n+1）]²+（n+1）²=[n（n+1）+1]²．

点评 此题考查因式分解的实际运用，掌握完全平方公式是解决问题的关键．