Question

17．如果三角形有一个边上的中线长恰好等于这个边的长，那么称这个三角形是“有趣三角形”，这条中线为“有趣中线”．如图，在△ABC中，∠C=90°，较短的一条直角边BC=1，且△ABC是“有趣三角形”，求△ABC的“有趣中线”的长．

Answer 1

分析 “有趣中线”分三种情况，两个直角边跟斜边，而直角三角形的斜边的中点到三顶点距离相等，不符合；两个直角边，有一种情况有趣中线为1．但是不符合较短的一条直角边边长为1，只能为另一条直角边上的中线，利用勾股定理求出即可．

解答 解：“有趣中线”有三种情况：
若“有趣中线”为斜边AB上的中线，直角三角形的斜边的中点到三顶点距离相等，不合题意；
若“有趣中线”为BC边上的中线，根据斜边大于直角边，矛盾，不成立；
若“有趣中线”为另一直角边AC上的中线，如图所示，BC=1，
设BD=2x，则CD=x，
在Rt△CBD中，根据勾股定理得：BD²=BC²+CD²，即（2x）²=1²+x²，
解得：x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则△ABC的“有趣中线”的长等于$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 此题考查了勾股定理、新定义；熟练掌握新定义，由勾股定理得出方程是解本题的关键，注意分类讨论．