Question

1．矩形ABCD满足BC=2AB，E、F分别为AD、BC边上的动点，连接EF，沿EF将四边形DEFC翻折至四边形GEFH，点G落在AB上．
（1）若G为AB中点．
①求$\frac{DE-CF}{AG}$的值；
②连BH，若AG=BG=1，求BH的长．
（2）在E、F运动的过程中，$\frac{CH}{BH}$的最小值为$\frac{3}{5}\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）①如图1中，作FR⊥AD于R，连接DG．由△ADG∽△RFE，推出$\frac{AD}{RF}$=$\frac{AG}{RE}$=2，推出AG=2EF=2（DE-CF），推出$\frac{DE-CF}{AG}$=$\frac{1}{2}$．
②如图在中，作HJ⊥AB交AB的延长线于J．设EG=ED=x，在Rt△AEG中，由AG²+AE²=EG²，可得（4-x）²+1²=x²，解得x=$\frac{17}{8}$，推出AE=AD-DE=4-$\frac{17}{8}$=$\frac{15}{8}$，由△AEG∽△JGH，可得$\frac{AE}{GJ}$=$\frac{AG}{JH}$=$\frac{EG}{GH}$，求出GJ、JH即可解决问题．
（2）如图2中，当点G与点B重合时，$\frac{CH}{BH}$的值最小，设DE=EB=a，AB=CD=BH=m，AD=BC=2m，在Rt△AEB中，由AE²+AB²=EB²，可得（2m-a）²+m²=a²，推出a=$\frac{5}{4}$m，推出DE=EB=$\frac{5}{4}$m，由AD∥BC，推出∠EFB=∠DEF=∠FEB，推出BE=BF=$\frac{5}{4}$m，CF=BC-BF=$\frac{3}{4}$m，设EF的延长线交CH于M．由△FMC∽△BAD，可得$\frac{FM}{CM}$=$\frac{BA}{AD}$=$\frac{1}{2}$，推出CM=KM=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$m，推出CH=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$m，延长即可解决问题．

解答 解：（1）①如图1中，作FR⊥AD于R，连接DG．
∵DG⊥EF，FR⊥ED，
∴∠EFR=∠ADR，
∴△ADG∽△RFE，
∴$\frac{AD}{RF}$=$\frac{AG}{RE}$=2，
∴AG=2EF=2（DE-CF），
∴$\frac{DE-CF}{AG}$=$\frac{1}{2}$．

②如图在中，作HJ⊥AB交AB的延长线于J．
∵AG=BG=1，
∴AB=CD=GH=2，AD=BC=4，设EG=ED=x，
在Rt△AEG中，∵AG²+AE²=EG²，
∴（4-x）²+1²=x²，
∴x=$\frac{17}{8}$，
∴AE=AD-DE=4-$\frac{17}{8}$=$\frac{15}{8}$，
∵△AEG∽△JGH，
∴$\frac{AE}{GJ}$=$\frac{AG}{JH}$=$\frac{EG}{GH}$，
∴$\frac{\frac{15}{8}}{GJ}$=$\frac{1}{JH}$=$\frac{\frac{17}{8}}{2}$，
∴GJ=$\frac{30}{17}$，JH=$\frac{16}{17}$，
∴BJ=$\frac{13}{17}$，
∴BH=$\sqrt{B{J}^{2}+H{J}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{13}{17}）^{2}+（\frac{16}{17}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{17}}{17}$

（2）如图2中，当点G与点B重合时，$\frac{CH}{BH}$的值最小，设DE=EB=a，AB=CD=BH=m，AD=BC=2m，
在Rt△AEB中，∵AE²+AB²=EB²，
∴（2m-a）²+m²=a²，
∴a=$\frac{5}{4}$m，
∴DE=EB=$\frac{5}{4}$m，
∵AD∥BC，
∴∠EFB=∠DEF=∠FEB，
∴BE=BF=$\frac{5}{4}$m，CF=BC-BF=$\frac{3}{4}$m，设EF的延长线交CH于M．
∵△FMC∽△BAD，
∴$\frac{FM}{CM}$=$\frac{BA}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴CM=KM=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$m，
∴CH=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$m，
∴$\frac{CH}{BH}$的最小值=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查相似三角形综合题、翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形，学会利用特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题．